Voyages au pays des maths

2. Flâneries infinitésimales

Longtemps les mathématiques ont été une science statique, un temple grec aux proportions parfaites. Il y était question de régularités et de constantes. Puis, avec Newton et Leibniz, le mouvement s’est glissé sournoisement dans le tableau grâce à une invention qui a fait entrer le changement dans le champ des mathématiques : le calcul infinitésimal.

3. La Conjecture de Poincaré

En 2006, Grigori Perelman est venu à bout de la conjecture de Poincaré, un problème alors ouvert depuis plus d’un siècle et dont la résolution était mise à prix : un million de dollars ! Qu’est-ce qui se cache derrière ce « problème du millénaire » ? Pour le comprendre il faut passer par des sphères plates et des carrés sans bord.

4. Sur la route de l’infini

En route pour une petite balade à la découverte d’un monde gigantesque ! On y trouvera des nombres auprès desquels le milliard fait figure de miette et on y apprendra à mesurer les infinis. Et je dis bien LES infinis puisqu’on sait depuis Georg Cantor (1845/1918) que l’infini existe en plusieurs tailles.

5. Le Théorème de Gödel

Les maths, on le sait, sont le domaine de la certitude : soit c’est démontrable, soit c’est faux. Sauf que c’est précisément l’inverse qu’a prouvé le théorème de Gödel : au sein de tout système formel suffisamment complexe pour englober l’arithmétique, il existe des propositions « indécidables », qu’on ne peut ni prouver ni réfuter !

6. Le Dilemme du prisonnier

Ambiance polar. Un braquage a mal tourné : vous et votre complice êtes interrogés par la police et il faut faire un choix : trahir votre partenaire, ou vous en tenir au silence. Dans cette situation stressante, l’option optimale n’est bizarrement pas la meilleure des options. Heureusement, John Nash et la théorie des jeux sont là pour vous guider.

7. Sur les traces du jeu de la vie

Inventé par un mathématicien américain (John Horton Conway) dans les années 60, le jeu de la vie est un « automate cellulaire » particulièrement visuel qui permet de mieux comprendre « l’émergence », c’est-à-dire la façon dont un système complexe peut émerger de quelque chose de plus simple. Une histoire qui – soit dit en passant – rappelle un peu celle de notre Univers.

8. Les Nombres irrationnels

Les nombres irrationnels sont connus depuis au moins 25 siècles, il serait temps de s’y mettre ! Tout ça remonte à Pythagore (−580/−495) et à cette diagonale dont le carré est égal à la somme des carrés des côtés… C’est à cause de cette diagonale que le monde bien ordonné des entiers naturels et des fractions va devoir s’élargir pour accueillir des monstres comme π et √2.

9. Pique-nique sur le plan complexe

Depuis Jérôme Cardan, fameux astrologue italien du XVIe siècle, on sait que certaines équations semblent admettre pour solutions des nombres… qui n’existent pas ! C’est évidemment embêtant… Mais cet inconvénient aboutira quelques siècles plus tard à la découverte d’un nouveau domaine des nombres : les « complexes », dont ni les mathématiques ni la physique ne peuvent plus se passer.

10. Cap sur l'hypothèse de Riemann

Fin des voyages au pays des maths avec une randonnée ardue. Mieux vaut avoir bien pris des forces sur le plan complexe. Car il s'agit d'un mystère non-résolu des mathématiques, à savoir : la répartition des nombres premiers. Choisie par David Hilbert en 1900 comme l’une des questions mathématiques les plus importantes du siècle à venir, l’hypothèse de Riemann n’est toujours pas résolue. Elle affirme que les zéros non triviaux de la fonction zêta ont tous pour partie réelle 1/2… Ce qui nécessite dans doute quelques explications ! Lesquelles nous renverront à l’un des plus anciens thèmes des mathématiques : les nombres premiers.